1 . 已知函数的定义域为.
(1)若非空集合满足，求实数a的取值范围；
(2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数.

3 . 设函数的定义域为集合A，集合，集合.
(1)求；
(2)若，证明．

4 . 已知集合，．
(1)若，均有，求实数的取值范围；
(2)若，设，，求证：是成立的必要条件．

5 . 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
(1)判断集合是否为平衡集，并说明理由；
(2)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
(3)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数．

6 . 已知集合，，其中 .
(1)当时，求集合A，B；
(2)问：是的什么条件？并证明你的结论.

7 . 已知函数．
(1)证明：函数是奇函数；
(2)若集合，，求．

8 . 已知集合，，证明：的充要条件为．

9 . 已知定义在上的函数满足：①对任意正实数x，y，都有；②当时，．
（1）判断函数在上的单调性，并证明；
（2）若，集合，（且），且，求实数a的取值范围．

10 . 设集合．
（1）证明：若，则：
（2）已知集合，若的子集共有个，求的取值范围．