1 . 已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立．
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
(3)求证：．

4 . 已知集合.对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.
(1)若，，求和；
(2)若满足且，求的所有可能结果.

5 . 对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω.
(1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且，使.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且，使，求n的最大值.

6 . 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.

7 . 对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.

8 . 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

9 . 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a－b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（       ）

A．0，１是任何数域中的元素；	B．若数集M，Ｎ都是数域，则是一个数域；
C．存在无穷多个数域；	D．若数集M，Ｎ都是数域，则有理数集．

10 . 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．