1 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数,则称是“最终常数列”.已知对任意,函数和数列满足.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
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2 . 对于函数,若存在,使得,则称为函数的一阶不动点; 若存在,使得,则称为函数的二阶不动点; 依此类推,可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点,二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知,求的不动点;
(2)已知函数在定义域内单调递增,求证: “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件;
(3)已知,讨论函数的稳定点个数.
(1)已知,求的不动点;
(2)已知函数在定义域内单调递增,求证: “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件;
(3)已知,讨论函数的稳定点个数.
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3 . 定义:设和均为定义在上的函数,它们的导函数分别为和,若不等式对任意实数恒成立,则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数,①和②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论,不需论证);
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,证明:和为“相伴函数”;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
(1)给出两组函数,①和②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论,不需论证);
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,证明:和为“相伴函数”;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
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解题方法
4 . 若数列满足:,且,则称为一个数列.对于一个数列,若数列满足:,且,则称为的伴随数列.
(1)若数列中,,写出其伴随数列中的值;
(2)若为一个数列,为的伴随数列
①证明:“为常数列”是“为等比数列的充要条件;
②求的最大值.
(1)若数列中,,写出其伴随数列中的值;
(2)若为一个数列,为的伴随数列
①证明:“为常数列”是“为等比数列的充要条件;
②求的最大值.
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2023-12-11更新
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1209次组卷
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2卷引用:北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
名校
解题方法
5 . 对于数列定义为的差数列,为的累次差数列.如果的差数列满足,,则称是“绝对差异数列”;如果的累次差数列满足,,则称是“累差不变数列”.
(1)设数列:2,4,8,10,14,16;:6,1,5,2,4,3,判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”,直接写出你的结论;
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”,且的前两项,,(为大于0的常数),求数列的通项公式;
(3)已知数列:是“绝对差异数列”,且.证明:的充要条件是.
(1)设数列:2,4,8,10,14,16;:6,1,5,2,4,3,判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”,直接写出你的结论;
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”,且的前两项,,(为大于0的常数),求数列的通项公式;
(3)已知数列:是“绝对差异数列”,且.证明:的充要条件是.
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解题方法
6 . 已知定义域为R的函数,若对任意R,S,均有,则称是S关联.
(1)判断和证明函数是否是关联?是否是关联?
(2)若是{3}关联,当时,,解不等式:;
(3)证明:“是{1}关联,且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
(1)判断和证明函数是否是关联?是否是关联?
(2)若是{3}关联,当时,,解不等式:;
(3)证明:“是{1}关联,且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
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解题方法
7 . 已知数列满足:①();②当()时,;当()时,.记数列的前项和为.
(1)求满足条件的所有,,的值;
(2)若,求的最小值;
(3)求证:的充要条件是().
(1)求满足条件的所有,,的值;
(2)若,求的最小值;
(3)求证:的充要条件是().
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8 . 给定正整数m,数列,且.对数列A进行T操作,得到数列.
(1)若,,,,求数列;
(2)若m为偶数,,且,求数列各项和的最大值;
(3)若m为奇数,探索“数列为常数列”的充要条件,并给出证明.
(1)若,,,,求数列;
(2)若m为偶数,,且,求数列各项和的最大值;
(3)若m为奇数,探索“数列为常数列”的充要条件,并给出证明.
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2022-06-02更新
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1202次组卷
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8卷引用:北京市对外经济贸易大学附属中学2023届高三上学期12月月考期末综合测试(一)数学试题
北京市对外经济贸易大学附属中学2023届高三上学期12月月考期末综合测试(一)数学试题北京市日坛中学2023届高三上学期12月月考数学试题北京市大兴区兴华中学2022届高三三模数学试题北京市第十二中学2022届高三第三次模拟练习数学试题 (已下线)2022年新高考北京数学高考真题变式题13-15题北京市第十二中学2022届高三下学期第三次模拟练习数学试题(已下线)2022年新高考北京数学高考真题变式题19-21题(已下线)模块九 数列-2
9 . 设n∈N*且n≥2,集合
(1)写出集合中的所有元素;
(2)设(,···,),(,···,)∈,证明“=”的充要条件是=(i=1,2,3,···,n);
(3)设集合={︳(,···,)∈},求中所有正数之和.
(1)写出集合中的所有元素;
(2)设(,···,),(,···,)∈,证明“=”的充要条件是=(i=1,2,3,···,n);
(3)设集合={︳(,···,)∈},求中所有正数之和.
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2020-02-15更新
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949次组卷
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3卷引用:北京市首都师范大学附属中学2023届高三上学期12月月考数学试题
10 . 已知抛物线,为抛物线上的点,若直线经过点且斜率为,则称直线为点的“特征直线”.设、为方程()的两个实根,记.
(1)求点的“特征直线”的方程;
(2)已知点在抛物线上,点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直,且与轴的交于点,点为线段上的点.求证:;
(3)已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点,点、的“特征直线”分别为、,直线、相交于点,且与轴分别交于点、.求证:点在线段上的充要条件为(其中为点的横坐标).
(1)求点的“特征直线”的方程;
(2)已知点在抛物线上,点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直,且与轴的交于点,点为线段上的点.求证:;
(3)已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点,点、的“特征直线”分别为、,直线、相交于点,且与轴分别交于点、.求证:点在线段上的充要条件为(其中为点的横坐标).
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