1 . 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集

2 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合，并写出的值；
(2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
(3)已知数列，求证：．

3 . 设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.

4 . 已知，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．

5 . 已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．

6 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若，求证：存在，使得，有．

7 . 已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.

8 . 若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”．
(1)若是“数列”且，写出的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值．