1 . 对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．
(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；
(2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围；
(3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．

2 . 已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.

3 . 已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若在上的值域是，求a的值．

4 . 我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

5 . 已知函数的定义域为D，且同时满足以下条件：
①在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间D(其中)，使得当时，的取值集合也是．那么，我们称函数 ()是闭函数．
(1)判断是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若是闭函数，求实数的取值范围．
（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）

6 . 已知函数．
（1）判断函数在的单调性，并用定义法证明；
（2）求函数在的最大值．

7 . 设，
（1）求函数的定义域；
（2）判断的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于的不等式；

8 . 已知函数（是常数），且，.
（1）求的值；
（2）当时，判断的单调性并证明；
（3）若不等式成立，求实数的取值范围.

9 . 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x₁，x₂∈D，有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．