1 . 给出集合
(1)若求证:函数
(2)由(1)可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：
命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；
(3)设为常数,且求的充要条件并给出证明.

2 . 定义在R上的函数满足，，，求.（提示：注意的周期性）

3 . 设函数的定义域D关于原点对称，且存在常数a>0，使,
（1）在我们学过的函数中，写出的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）若存在正常数T使得等式对于都成立，则称是周期函数，T为周期；试问是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由.

4 . 函数满足.
（1）证明:是周期函数；
（2）若，求的取值范围.

5 . 设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明.
（3）定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值.

6 . 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.
（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；
（2）对于整数，当时，求函数的解析式；
（3）对于整数，记在有两个不等的实数根}，求集合.

7 . 设是定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，.
（1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、零点；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间（）上的解析式；
（3）方程有三个不等根，求的取值范围.

8 . 已知集合，.
（1）判断与集合的关系，并说明理由；
（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.

9 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在实数､,对于定义域内的任意均有成立,称数对为函数的“伴随数对”.
(1)判断是否属于集合,并说明理由;
(2)若函数,求满足条件的函数的所有“伴随数对”;
(3)若,都是函数的“伴随数对”,当时,;当时,.求当时,函数的零点.

10 . 已知函数的定义域为实数集，及整数、；
（1）若函数，证明；
（2）若，且（其中为正的常数），试证明：函数为周期函数；
（3）若，且当时，，记，求使得小于1000都成立的最大整数.