1 . 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.

(1)求的对称中心；
(2)已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

2 . 已知函数的定义域是，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在上为不减函数.现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，，若，则.
试证明下列结论：
(1)对于，，若，则；
(2)在上为不减函数；
(3)对，都有.

3 . 设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）
(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集；
(3)已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的.

4 . 已知（且）是R上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由．

5 . 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数.
(i)证明函数的图象关于点对称；
(ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

6 . 已知定义在R上的偶函数和奇函数，且
(1)求函数，的解析式；
(2)设函数，记，探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是：对定义域内任意都有：.给定函数.
(1)求函数的图象的对称中心；
(2)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.

8 . 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
(1)依据推广结论，求函数图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性求的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）

9 . 设偶函数（为常数）且的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，，，且的图象关于直线对称和点对称，若在上单调递增，求和的值．

10 . 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.