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1 . 三角函数的定义是:在单位圆C:中,作一过圆心的射线与单位圆交于点P,自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ,则P点坐标为,转动中扫过的圆心角为θ的扇形,由圆弧面积公式和弧度角的定义,可知面积.类似地对于双曲三角函数有这样的定义:在单位双曲线E:中,过原点作一射线交右支于点P,该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是,双曲角,则P的坐标是.其中,称为双曲余弦函数,称为双曲正弦函数同样,有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式:,
(Ⅰ)双曲三角函数有如下和差公式,请任选其一进行证明:
①;
②;
(Ⅱ)①求函数在R上的值域;
②若对,关于x的方程有解,求实数a的取值范围.
类似三角函数的反函数,试研究双曲三角函数的反函数artanhx,arcothx.
(2)①证明:
②已知的级数展开式为,写出的级数展开式.
(1)阅读上述文字并求出,的初等函数表达式.
(Ⅰ)双曲三角函数有如下和差公式,请任选其一进行证明:
①;
②;
(Ⅱ)①求函数在R上的值域;
②若对,关于x的方程有解,求实数a的取值范围.
类似三角函数的反函数,试研究双曲三角函数的反函数artanhx,arcothx.
(2)①证明:
②已知的级数展开式为,写出的级数展开式.
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解题方法
2 . 若函数满足:对任意正数,都有,则称函数为“H函数”.
(1)试判断函数与是否为“H函数”,并说明理由;
(2)若函数是“H函数”,求实数a的取值范围;
(3)若函数为“H函数”,,对任意正数s、t,都有,,证明:对任意,都有.
(1)试判断函数与是否为“H函数”,并说明理由;
(2)若函数是“H函数”,求实数a的取值范围;
(3)若函数为“H函数”,,对任意正数s、t,都有,,证明:对任意,都有.
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3 . 已知函数,记().
(1)若,解不等式:;
(2)设为实数,当时,若存在实数,使得成立,求的取值范围;
(3)记(其中、均为实数),若对于任意的,均有,求正数的最小值及此时、的值.
(1)若,解不等式:;
(2)设为实数,当时,若存在实数,使得成立,求的取值范围;
(3)记(其中、均为实数),若对于任意的,均有,求正数的最小值及此时、的值.
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4 . 已知实数满足,且,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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5 . 有如下条件:
①对,,2,,均有;
②对,,2,,均有;
③对,,2,3,;若,则均有;
④对,,2,3,;若,则均有.
(1)设函数,,请写出该函数满足的所有条件序号,并充分说明理由;
(2)设,比较函数,,值的大小,并说明理由;
(3)设函数,满足条件②,求证:的最大值.(注:导数法不予计分)
①对,,2,,均有;
②对,,2,,均有;
③对,,2,3,;若,则均有;
④对,,2,3,;若,则均有.
(1)设函数,,请写出该函数满足的所有条件序号,并充分说明理由;
(2)设,比较函数,,值的大小,并说明理由;
(3)设函数,满足条件②,求证:的最大值.(注:导数法不予计分)
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2024-02-23更新
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468次组卷
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5卷引用:北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题
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解题方法
6 . 已知函数的定义域为.若存在实数,使得对于任意,都存在,使得,则称函数具有性质.
(1)分别判断:及是否具有性质;(结论不需要证明)
(2)若函数的定义域为,且具有性质,证明:“”是“函数存在零点”的充分非必要条件;
(3)已知,设,若存在唯一的实数,使得函数,具有性质,求的值.
(1)分别判断:及是否具有性质;(结论不需要证明)
(2)若函数的定义域为,且具有性质,证明:“”是“函数存在零点”的充分非必要条件;
(3)已知,设,若存在唯一的实数,使得函数,具有性质,求的值.
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解题方法
7 . 已知函数且是奇函数.
(1)当为自然对数底数)时,解不等式:;
(2)关于x的不等式解集中有且仅有3个整数,讨论实数n的取值范围.
(1)当为自然对数底数)时,解不等式:;
(2)关于x的不等式解集中有且仅有3个整数,讨论实数n的取值范围.
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8 . 定义在D上的函数,如果满足:存在常数,对任意,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
(1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由;
(2)已知函数,若函数在上是以4为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(3)若,函数在区间上是否存在上界,若存在,求出的取值范围,若不存在请说明理由.
(1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由;
(2)已知函数,若函数在上是以4为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(3)若,函数在区间上是否存在上界,若存在,求出的取值范围,若不存在请说明理由.
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9 . 知函数,则下列结论正确的有( )
A.若x为锐角,则 |
B. |
C.方程有且只有一个根 |
D.方程有两个解 |
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10 . 已知函数和的定义域分别为和,若对任意,恰好存在个不同的实数,使得(其中),则称为的“重覆盖函数”.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”,如果是,求出的值;如果不是,说明理由.
(2)若为的“2重覆盖函数”,求实数的取值范围;
(3)函数表示不超过的最大整数,如.若为的“5重覆盖函数”,求正实数的取值范围.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”,如果是,求出的值;如果不是,说明理由.
(2)若为的“2重覆盖函数”,求实数的取值范围;
(3)函数表示不超过的最大整数,如.若为的“5重覆盖函数”,求正实数的取值范围.
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