1 . （1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图象；
（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：

①若实数满足，则称比接近；
②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.

2 . 已知函数，.
（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；
（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数
（1）证明：；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.

4 . 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.
（1）试判断函数与是否是“速增函数”；
（2）若函数为“速增函数”，求的取值范围；
（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有.

5 . 已知函数．

（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；

（2）求证：．

6 . 设，是函数的图像上的任意两点.
（1）当时，求的值；
（2）设，其中，求；
（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前n项的和，求证.