1 . 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

2 . 已知，且，由t确定两个任意点，.

(1)直线PQ是否经过点?
(2)在△内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上.
①求证：顶点C一定在直线上；
②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标.

3 . 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．

(1)求函数的解析式；
(2)若，成立，求实数m的取值范围；
(3)时，判断并证明与的大小关系．

5 . 榴弹炮是一种身管较短，弹道比较弯曲，适合于打击隐蔽目标和地面目标的野战炮，是地面炮兵的主要炮种之一．为中国共产党建党100周年献礼，某军工研究所对某类型榴弹炮进行了改良．如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为．改良后的榴弹炮位于坐标原点．已知该炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求该类型榴弹炮的最大射程；
(2)证明：该类型榴弹炮发射的高度不会超过．

6 . 心理学家研究发现：学生的注意力集中度随老师讲课时间变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，注意力集中度增加，中间一段时间，学生注意力集中度保持在理想状态，随后学生的注意力开始分散，注意力集中度下降.高一综合课题研究小组设计用函数模型，其中（其中）表示学生注意力集中度随时间的变化规律（越大，表明学生注意力集中度越高，表明学生注意力集中度为理想学习值）.通过实验，平均下来，同学们上课后分钟注意力集中度恰好进入理想学习值，到分钟下课时注意力集中度减退为.
（1）试确定的值；
（2）根据这个函数模型，讲课开始后多少分钟，学生的注意力开始减退？（不必证明）
（3）一道数学难题，需要讲解分钟，并且要求学生的注意力度至少达到，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的注意力集中度下讲授完这道题目？

7 . 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

8 . 现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：

全月应纳税所得额	税率
不超过1500元的部分	3%
超过1500元至4500元的部分	10%
超过4500元至9000元的部分	20%
超过9000元至35000元的部分	25%
……	…

例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.
（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；
（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；
（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）

9 . 在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为到的“折线距离”．如图所示的路径与路径都是到的“折线路径”.某地有三个居民区分别位于平面内三点，，，现计划在这个平面上某一点处修建一个超市.

(1)请写出点到居民区的“折线距离”的表达式（用表示，不要求证明）；
(2)为了方便居民，请确定点的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小.

10 . 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．