1 . 设为实数，函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根，证明：.
（注：是自然对数的底数）

2 . 已知函数，.
（1）函数在点处的切线的斜率为2，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同极值点为、，证明：.

3 . 已知函数，其中，为自然对数的底数.设是的导函数.
（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；
（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.

4 . 设函数 ，，已知有三个互不相等的零点，且.
（Ⅰ）若.
(ⅰ)讨论的单调区间；
(ⅱ)对任意的，都有成立，求的取值范围；   
（Ⅱ）若且，设函数在，处的切线分别为直线，，是直线，的交点，求的取值范围.

5 . 已知函数，．
（1）若直线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）若存在，，使，且，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．