1 . 已知在中，，，，记的面积为S．
(1)请利用所学过的相关知识证明：；
(2)已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围.

2 . 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大．

   

3 . 给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

4 . 已知函数（均为常数且）的导函数满足，且，则下列说法正确的有（       ）

A．	B．
C．是的极值点	D．不等式的解集为

5 . 甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为，每局比赛没有平局．
(1)若赛制为3局2胜，，求最终甲获胜的概率；
(2)若赛制为5局3胜，记为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求的最大值及此时p的值．

6 . 已知m，n，k均为正实数，，且若恒成立，则实数t的最小值为（     ）

A．

B．

C．

D．

7 . 山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下：

租金	88	128	188	288	388	488
出租率	0.9	0.7	0.5	0.3	0.2	0.15

(1)请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）.

261.3	0.46	5.4	121437.86	1.97	-221.19	-1.04

(2)已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大.
附：；对于一组数据，其经验回归方程为.

8 . 在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.

	1		2	3	4		5	6	7	8		9	10
训练前	4		7	5	9		5	2	8.5	6		7	5
训练后	8.5		9.5	7.5	9.5		8.5	6	9.5	8.5		9	9
		优秀人数				非优秀人数					合计
训练前
训练后
合计

(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
(2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
(3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值.
附：，其中.

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立；
（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值.