1 . 已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．

2 . 已知函数.
(1)设，当时，求证为增函数；
(2)当时，求证.

3 . 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同的极值点，求证.

4 . 已知函数.注：为自然对数的底数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明：
（i）；
（ii）.

5 . 已知函数
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．

7 . 已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有最小值，证明：．

8 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．

   

(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
(3)若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程．

9 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在不相等的实数，，使得，证明：．

10 . 已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数有两个零点x₁，x₂，证明：．