1 . 已知函数．
(1)定义，其中且，求；
(2)对于（2）中的，求证：对于任意都有．

2 . 已知函数，，为其导函数．函数在其定义域内有零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设函数，求证：对任意的且，．
(3)求证：．

3 . 已知函数和.
(1)求函数的极值；
(2)当时，求证：.

4 . 已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程的两个实数根互为相反数，求实数的值；
(3)在条件（2）下，若函数有两个不同的零点，证明：．

5 . 已知函数.注：为自然对数的底数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明：
（i）；
（ii）.

6 . 已知函数．
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)证明：．

7 . 已知函数.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)首项为的数列满足：当时，有，证明：.

8 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

9 . 已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．

10 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．