面积、体积最大问题练习题及答案-福建高中数学高二-组卷网

2010·广东·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

建立拟合函数模型解决实际问题面积、体积最大问题基本不等式求和的最小值

名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域利用导数求解函数的最值

1 . 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知

米，

米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形

的面积最小？并求出最小面积．

2023-09-04更新 | 1173次组卷 | 69卷引用：2011-2012学年福建省仲元中学数学选修1-2模块考试数学试卷

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23-24高三上·安徽合肥·阶段练习

单选题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）面积、体积最大问题柱体体积的有关计算

名校

解题方法

几何体体积的求法利用导数求解函数的最值

2 . 如图，在边长为

的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

2024-01-09更新 | 606次组卷 | 12卷引用：福建省宁德市古田县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

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2023·上海嘉定·一模

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

面积、体积最大问题圆柱轴截面的有关计算棱柱及其有关计算

名校

3 . 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．

材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，

	圆形截面	正方形截面	矩形截面
条件	r为圆半径	a为正方形边长	h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数

(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为

的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问

为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．

2023-12-19更新 | 477次组卷 | 4卷引用：福建省德化第一中学2024-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

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22-23高二下·福建厦门·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

面积、体积最大问题扇形面积的有关计算

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值

4 . 学校里的生物园地由矩形

与扇形

组成，

，

，生物园地从

点出水喷洒灌溉，喷洒张角

，阴影部分为可灌溉范围，点

在弧

上，点

在线段

上，设

，可灌溉范围的面积为

.

(1)求灌溉面积

关于

的关系式，并求出

的范围；
(2)求灌溉面积

取得最大值时

的值.

2023-08-16更新 | 388次组卷 | 3卷引用：福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

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22-23高二下·河北邯郸·阶段练习

多选题 | 较易(0.85) |

面积、体积最大问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值

5 . 若将一边长为

的正方形铁片的四角截去四个边长均为

的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（）

A．当时，方盒的容积最大	B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为	D．方盒容积的最大值为

2023-03-20更新 | 438次组卷 | 5卷引用：福建省厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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23-24高三上·贵州贵阳·开学考试

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

面积、体积最大问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值

6 . 如图，

、

两点分别在

、

轴上滑动，

，

为垂足，

点轨迹形成“四叶草”的图形，若

，则

的面积最大值为______．

2023-09-10更新 | 343次组卷 | 3卷引用：福建省福州格致中学2023-2024学年高二下学期3月限时训练（月考）数学试卷

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2023·上海崇明·一模

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用二次函数模型解决实际问题分段函数模型的应用面积、体积最大问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值

7 . 某公园有一块如图所示的区域

，该场地由线段

及曲线段

围成.经测量，

，

米，曲线

是以

为对称轴的抛物线的一部分，点

到

、

的距离都是

米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场

，其中点

在线段

或曲线段

上，点

、

分别在线段

、

上，且该游乐场最短边长不低于

米.设

米，游乐场的面积为

平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段

的方程；
(2)求面积

关于

的函数解析式

；
(3)试确定点

的位置，使得游乐场的面积

最大.（结果精确到0.1米）

2022-12-12更新 | 629次组卷 | 5卷引用：福建省长乐第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（3月）数学试卷

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2013·重庆·高考真题

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

面积、体积最大问题

真题名校

解题方法

利用导数证明或求解函数单调区间（不含参）利用导数求解函数的最值

8 . 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．