1 . 立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，则__________．（用表示），据调研发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时的值为__________．

3 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．

(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．

4 . 如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______.

   

5 . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转分钟后距离地面的高度为米，则关于的函数解析式为___________；若游客甲在，时刻距离地面的高度相等，则的最小值为___________.

6 . 某街道路宽为米，在道路的边缘点安装高度为米（即）的路灯，灯杆与灯柱成角．当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点．

(1)求灯杆的长；
(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线（如图，）都成角．设，是否存在，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求的取值范围；若不存在，在，都落在路面上的条件下，求的最大值．

7 . 如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上､点在上､点和在上､点在上，记.

(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.

8 . 如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．

（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．

9 . 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度，小球从A到F所需时间为T.

(1)试将T表示为的函数，并写出定义域；
(2)当满足什么条件时，时间T最短.

10 . 如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为______．