1 . 某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？

2 . 如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为的扇形花圃OPQ，点A，B在弧上，且．小区物业计划在弓形ACB区域（阴影部分）种植观赏植物，域种植花卉，其余区域种植草皮，已知种植观赏植物的成本是每平方米80元，种植花卉的成本是每平方米40元，种植草皮的成本是每平方米60元．记，．

(1)用表示弓形ACB的面积；
(2)求种植总费用的最小值及相应的值．

3 . 将圆锥侧面展开得到扇形AOB（图1），已知扇形AOB的半径和面积分别为2，，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.现有两个实验小组，他们分别采用两种方案，方案一：如图2所示，将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上；方案二：如图3所示，两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上.

(1)求圆锥的体积；
(2)比较两种方案，哪种方案更优？并谈谈两种方案的区别与联系.

4 . 2022年3月23日15时44分，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，“太空教师”翟志刚，王亚平､叶光富相互配合，生动演示了太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同时，激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情，背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进，空间站并非一直处于我们头顶上方的位置，有时候会运行到地球的另一面，如果直接进行地面与空间站对话，信号就会被地球阻挡，不被接收，所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图1，天链一号01星，02星，03星（分别记为点A，B，C）分布在赤道上空，距地球（记为点O）公里的同一圆形轨道上，且分别位于轨道的东经77度，东经177度，东经17度（如图2），随时实现空间站与地面信号的五通，保证通话更加流畅､及时，画面也更加清晰.

(1)计算天链一号01星与03星之间的弓形（图2阴影部分）面积（单位：平方公里）；
(2)若再向该轨道发射一颗卫星（记为D），为使四颗卫星组成的四边形面积最大，确定D的经度（直接写出，不需要说明理由），并计算四边形面积（单位；平方公里）的最大值.（参考数据）

5 . 我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.

(1)请写出的函数表达式；
(2)用求导的方法证明.