1 . 如图，是等边三角形，是边上的动点(含端点)，记，.
   
(1)求的最大值；
(2)若，，求的面积．

2 . 某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．

(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别是，.

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.

4 . 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．

5 . 已知的三个顶点的坐标是，，.
(1)判断的形状；
(2)求的面积.

6 . 已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P．
(1)求点P的轨迹方程Γ；
(2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积．

7 . 已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点．
(1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值．
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值．

8 . 已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：
(1)椭圆的标准方程
(2)的面积．

9 . 如图，点在内，是三棱锥的高，是边长为6的正三角形，．
      
(1)求的长度；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

10 . 在中，角，，的对边分别是，，，已知，且，角为锐角.
(1)求；
(2)若，求的面积.