1 . 如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，且，.

(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

2 . 已知向量：.
(1)求与的模长.
(2)求与的数量积.
(3)求与的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：

3 . 记的内角的对边分别为，且.
(1)证明：为等腰直角三角形；
(2)已知，直线与相交于点，求的余弦值.

4 . 如图，正方体的棱长为a．

(1)求和的夹角；
(2)求证：．

5 . 在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小．

6 . 已知是等差数列，公差，其前项和为，点列，，…，及点列，，…，．
（1）求证：（且）与共线；
（2）若与的夹角是，求证：．

7 . 在四边形中，设，与夹角为，已知四边形的面积为.求证：四边形的面积为   （提示：）

8 . 已知两个向量满足，且.
（1）求两个向量与的夹角；
（2）求证：.

9 . 已知一列非零向量满足：，，其中是正数
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：当时，向量与的夹角为定值；
（3）当时，把中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，为坐标原点，求点列的极限点的坐标.（注：若点坐标为，且，则称点为点列的极限点）

10 . 如图，椭圆的左右焦点、恰好是等轴双曲线的左右顶点，且椭圆的离心率为，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别记为、和、．

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值；
（3）若存在点满足，试求的大小．