1 . 如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.

(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.

2 . 如图，在中，已知分别为上的点，且.

   

(1)求；
(2)求证：；
(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.

3 . 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则为等边三角形

C．若，则为的垂心

D．若，则点的轨迹经过的重心

4 . 已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，证明：以为直径的圆必经过原点.

5 . 在四边形中，，则四边形的形状是______.

6 . 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

   

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

7 . 如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
   
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.

8 . 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

   

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.

9 . 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
   
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．

10 . 下列关于平面向量的说法中正确的是（       ）

A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；

B．若是的外接圆圆心，则

C．若，且，则

D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.