解题方法
1 . 将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，此时数列
中剩下的项构成数列
；再将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列
；…．如此操作下去，将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列
．
(1)分别写出数列
的前2项；
(2)记数列
的第
项为
．求证：当
时，
；
(3)若
，求
的值．
中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．(1)分别写出数列
的前2项；(2)记数列
的第项为．求证：当时，；(3)若
，求的值．
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名校
解题方法
2 . 若无穷数列
的各项均为整数．且对于
，
，都存在
，使得
，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，，2，3，…；②
，，2，3，…．(2)若数列
满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列
满足性质P，求数列的通项公式．
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2024-02-10更新
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1268次组卷
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5卷引用：北京市清华大学附属中学2023届高三下学期4月月考数学试题
北京市清华大学附属中学2023届高三下学期4月月考数学试题（已下线）北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题湖南省2024届高三数学新改革提高训练一（九省联考题型）2024届高三新改革数学模拟预测训练一（九省联考题型）湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
3 . 若有穷数列
满足：
，则称此数列具有性质
.
(1)若数列
具有性质，求
的值；
(2)设数列A具有性质
，且
为奇数，当
时，存在正整数
，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足
（
为常数）的数列A构成的集合记作
.求出所有的，使得对任意给定的
，当数列
时，数列A中一定有相同的两项，即存在
.
满足：，则称此数列具有性质.(1)若数列
具有性质，求的值；(2)设数列A具有性质
，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；(3)把具有性质
，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
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2024-01-19更新
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1381次组卷
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3卷引用：北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
解题方法
4 . 若数列满足：
，且，则称为一个
数列．对于一个数列，若数列
满足：
，且
，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，
，写出其伴随数列中
的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求
的最大值．
满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．(1)若
数列中，，写出其伴随数列中的值；(2)若
为一个数列，为的伴随数列①证明：“
为常数列”是“为等比数列的充要条件；②求
的最大值．
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2023-12-11更新
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1229次组卷
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2卷引用：北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
5 . 对于向量
，若
，
，
三数互不相等，令向量
，其中
，
，
，
.
(1)当
时，试写出向量
；
(2)证明：对于任意的
，向量
中的三个数
，
，
至多有一个为0；
(3)若
，证明：存在正整数
，使得
.
，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.(1)当
时，试写出向量；(2)证明：对于任意的
，向量中的三个数，，至多有一个为0；(3)若
，证明：存在正整数，使得.
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2023-03-28更新
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670次组卷
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3卷引用：北京市第二十中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
名校
6 . 在无穷数列
中，
，
是给定的正整数，
，
.
(1)若
，
，写出
，
，
的值；
(2)证明：存在
，当
时，数列中的项呈周期变化；
(3)若，的最大公约数是
，证明数列中必有无穷多项为.
中，，是给定的正整数，，.(1)若
，，写出，，的值；(2)证明：存在
，当时，数列中的项呈周期变化；(3)若
，的最大公约数是，证明数列中必有无穷多项为.
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名校
7 . 已知数列
对任意的
，都有
，且
．
①当
时，
_________ ．
②若存在
，当
且
为奇数时，恒为常数P，则P＝_________ ．
对任意的，都有，且．①当
时，②若存在
，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝
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2022-03-23更新
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1673次组卷
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6卷引用：北京交通大学附属中学2023届高三上学期10月诊断数学试题
名校
8 . 若实数数列满足
，则称数列为“Q数列”．
(1)若数列是Q数列，且
，
，求
，
的值；
(2)若数列是Q数列：
①试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
②若数列中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．
满足，则称数列为“Q数列”．(1)若数列
是Q数列，且，，求，的值；(2)若数列
是Q数列：①试判断：
的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；②若数列
中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．
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名校
9 . 已知数列，记集合
.
（1）对于数列
，写出集合
；
（2）若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组符合条件的
；若不存在，说明理由.
（3）若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为
，若
，求的最大值.
，记集合.（1）对于数列
，写出集合；（2）若
，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.（3）若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.
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2020-10-19更新
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696次组卷
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6卷引用：北京市东城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
北京市东城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题（已下线）专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月数学统练二试题北京一六一中学2022届高三12月数学试题上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题上海市金山中学2021届高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
10 . 若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有
成立，则称数列为周期数列，周期为T.已知数列满足
，
，则下列结论中错误的是（ ）
满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为T.已知数列满足，，则下列结论中错误的是（ ）A．若 ，则m可以取3个不同的值； |
B．若 ，则数列是周期为3的数列； |
C．对于任意的 且T≥2，存在 ，使得是周期为的数列 |
D．存在 且 ，使得数列是周期数列 |
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2020-07-11更新
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1031次组卷
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5卷引用：北京一零一中学2024届高三上学期统考一数学试题
北京一零一中学2024届高三上学期统考一数学试题2015届湖南省长望浏宁四县高三3月调研（一模）考试理科数学试卷四川省成都市温江区2019-2020学年度高一下学期期末考试数学试题（已下线）专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-1（已下线）专题9 周期数列 微点2 周期数列的“脸谱”识别
