1 . 设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且.
（1）证明：数列为等差数列的充要条件是；
（2）已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项.

2 . 设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①；②存在实数M，使a_n≤M（n为正整数）
（1）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，a₄＝4，a₅＝5，b₁＝1，b₂＝4，b₃＝5，b₄＝4，b₅＝1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（2）设{c_n}是等差数列，s_n是其前n项和，c₃＝4，s₃＝18，证明数列{s_n}∈W，并写出M的取值范围；
（3）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）求证：数列{d_n}单调递增．

3 . 已知整数数列满足：①；②．
(1)若，求；
(2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项；

4 . 在数列{a_n}中，a_n＝.
（1）求数列的第7项；
（2）求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
（3）区间内有没有数列中的项？若有，有几项？

5 . 对于数列，定义 设的前项和为.
（1）设，写出；
（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（3）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；
②.
求所有满足条件的数列的个数.

6 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.
（Ⅰ）数列为，数列为.判断数列，是否为数列， 并说明理由；
（Ⅱ）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）.求证：当时，；
（Ⅲ）设无穷数列是首项为a（a>0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，.若.判断是否为数列，并说明理由.

7 . 首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．
（Ⅰ）请写出的所有可能值：
（Ⅱ）求证：对任意正整数中至少有一个小于0；
（Ⅲ）对于给定的正整数k，求的最大值．

8 . 各项为正的数列满足，
（1）当时，求证：数列是等比数列，并求其公比；
（2）当时，令，记数列的前n项和为，数列的前n项之积为，求证：对任意正整数n，为定值．

9 . 意大利人斐波那契在1202年写的《计算之书》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，如此，设第n个月的兔子对数为，则，，，，，….考查数列的规律，不难发现，（），我们称该数列为斐波那契数列.
（1）若数列的前n项和为，满足，（，），试判断数列是否构成斐波那契数列，说明理由；
（2）若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；
（3）若数列是斐波那契数列，求数列的前n项和.

10 . 若正项数列满足：，则称此数列为“比差等数列”．
（1）试写出一个“比差等数列”的前项；
（2）设数列是一个“比差等数列”，问是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，请说明理由；
（3）已知数列是一个“比差等数列”，为其前项的和，试证明：．