1 . 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时．
(1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
(2)，求．

2 . 已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．

3 . 已知数列满足: .
(1)求，由此猜想并直接写出数列的通项公式;
(2)记，求;
(3)在（2）的条件下，记，证明: 当时，.

4 . 已知数列的前n项和为， ，且，.
(1)在下列问题①②中选择一个求解；
①求证：是等比数列，并求；
②求证： 是等差数列，并求.
(2)设，，若是等比数列，求λ的值.
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.

5 . 已知正项数列的前项和为，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，证明.

6 . 已知数列满足：，且对于任意正整数n，均有．
(1)证明：为等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．

7 . 已知各项不为零的数列满足：.
(1)求，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.

8 . 已知数列，满足，，记.

(1)试证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．

9 . 设数列满足：，，且对任意的，都有．
(1)从下面两个结论中选择一个进行证明．
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．

10 . 已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.