1 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．

2 . 已知数列，且满足（且）
（1）证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
（2）令，设数列的前n项和为，求的最大值，并说明理由.

3 . 设，满足递推关系，初值条件．令，即，令此方程的两个根为、，若，则有（其中），若，则有（其中）.
证明：如果数列满足下列条件：已知的值，且对于，都有（其中、、、均为常数，且，，），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若，则，；若，则，其中，.
特别地，当存在使时，无穷数列不存在；
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，，其中，（其中）.

4 . 已知数列满足，，，.
（1）若，求，的值；
（2）证明：对任意正实数，成等差数列；
（3）若()，，求数列的通项公式.

5 . 已知数列的前项和为，满足.
（1）求证：数列等差数列；
（2）当时，记，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由；
（3）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，.

6 . 已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．
（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；
（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．

7 . 为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.