1 . 记为数列的前项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.

2 . 已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明

3 . 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列满足，记，证明：.

4 . 已知数列的前项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前项的和.
①；②.

5 . 设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，证明为等差数列.

6 . 已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．

7 . 已知数列的前项和.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前项和.

8 . 从①，②为等差数列且，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.
问题：已知数列，满足，且___________.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若表示数列在区间内的项数，求数列的前项的和.

9 . 给定数列，若，且，是数列的项，则称数列为“数列”.记数列的前项和为，且，都有.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列为“数列”，，，且，求所有的可能值；
（3）若也是数列的项，求证：数列为“数列”.

10 . 设数列的前n项和为，若对于所有的自然数n，都有，证明是等差数列.