1 . 已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.

2 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

3 . 已知数列的前n项和为S_n，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

4 . 已知：等比数列{}中，公比为q，且a₁=2，a₄=54，等差数列{}中，公差为d，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+ a₂+ a₃.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和的公式；
（III）设，，其中n=1，2，…，试比较与的大小，并证明你的结论.

5 . 若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数．
（）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论．
（）证明：，，函数都是等比源函数．

6 . 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=，设b_n=，n∈N*．

（1）证明{b_n}是等比数列（指出首项和公比）；

（2）求数列{log₂b_n}的前n项和T_n．

7 . 已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；
（Ⅲ）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．