1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

2 . 已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.

3 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.

5 . 若数列满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求的最大值．

6 . 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；
①；
②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
(1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
(2)若数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．

7 . 已知数列的前n项和为S_n，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

8 . 已知等差数列中，，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明是等比数列，并求前n项的和；
（3）记数列前n项的乘积为，若成立，直接写出m的取值范围.

9 . 已知：等比数列{}中，公比为q，且a₁=2，a₄=54，等差数列{}中，公差为d，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+ a₂+ a₃.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和的公式；
（III）设，，其中n=1，2，…，试比较与的大小，并证明你的结论.

10 . 若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数．
（）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论．
（）证明：，，函数都是等比源函数．