1 . 若存在常数，使对任意的，都有，则称数列为数列.
（1）已知是公差为2的等差数列，其前n项和为.若是数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.
①求证：数列是等比数列；
②设，试证明：存在常数，对于任意的，数列都是数列.

2 . 已知点列为函数图像上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意，点构成以为顶点的等腰三角形.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，求的取值范围；
（3）求证：对任意，是常数，并求数列的通项公式.

3 . 已知是数列的前n项和，并且，对任意正整数n，；设
.
(Ⅰ) 证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ) 设，求证: 数列不可能为等比数列．

4 . 已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明：为等比数列；
（2）数列满足，求数列的前项和，求证：．

5 . 已知数列的前项和为，.
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：.

6 . 已知数列的前项和为，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)，求证：.

7 . 在数列中，，.求证：为等差数列；

8 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.

9 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质P，且，，求的值；
(2)若，求证：数列具有性质P；
(3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.

10 . 已知数列满足，，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前n项的和．