1 . 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼．

2 . 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．

3 . 数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设：，为常数，表示数列的前项和，若，则_______.

4 . 无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则满足条件的的取值集合为______.

5 . 已知等比数列的前n项积为，若，则______.

6 . 已知等比数列的前n项和为，，，则c=______.

7 . 无穷数列满足：只要必有，则称为“和谐递进数列”，已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________，若数列前项和为，则__________.

8 . 已知等差数列的公差， 且、、成等比数列，_____.

9 . 下列命题中，真命题的序号是__________．
①中，；
②数列的前n项和，则数列是等差数列；
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是；
④等差数列前n项和为，已知，，则；
⑤常数数列既是等差数列又是等比数列；
⑥数列满足，，则数列为等比数列．

10 . 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．