1 . 在已知数列中，
(1)求及数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，求证：；
(3)中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.

2 . 已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.

3 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

4 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.

5 . 已知为等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.