1 . 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

2 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.
（1）若，求和的值；
（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；
（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.

3 . 已知数列的各项均为正值，对任意，都成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求数列的前项和;
(3)当且时，证明对任意都有成立.

4 . 已知数列，满足；
（1）若，，，求的通项公式；
（2）若，，，求的前项和为；
（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；

5 . 若数列是公差为2的等差数列，数列满足b₁＝1，b₂＝2，且a_nb_n＋b_n＝nb_n＋1.

（1）求数列,的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式

对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围.

6 . 已知数列和,,,(且), , .
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式,并证明；
(3)设函数,若对任意恒成立,求的取值范围.

7 . 数列的前项和为，，
(1)证明数列是等比数列，求出数列的通项公式．
(2)设，求数列的前项和.
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

8 . 已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前 项和为，且是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列满足，．求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，恒有成立，且，为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

9 . 已知是数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；
（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.

10 . 已知数列满足，，，又．
（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）若的前和为，．
①判断并证明数列的单调性；
②求证：．