1 . 已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

2 . 数列满足：，；
(1)求证：；
(2)求证：对任意正数，都存在正整数使得成立；
(3)求证：

3 . 已知数列的前项和为，满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；
(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

4 . 已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.

6 . 已知多边形，的顶点都在抛物线F：上，若的横坐标为为所在直线的斜率(，，，)，则=_____.

7 . 已知等差数列中，则数列的前n项和=___.

8 . 已知数列与的前n项和分别为A_n和B_n，且对任意恒成立．
(1) 若，求B_n；
(2) 若对任意，都有及成立，求正实数b₁的取值范围；
(3) 若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 设数列的前项和，已知，.
（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；
（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.