1 . 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；
（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 若数列：，满足，则称为数列，并记.
（1）写出所有满足，的数列；
（2）若，，证明：数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的正整数，且，是否存在的数列，使得？如果存在，求出正整数满足的条件；如果不存在，说明理由.

3 . 若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；
②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
①；          ②；        ③
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.