1 . 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上．

   

(1)求圆柱的表面积；
(2)求证：；
(3)若是的中点，求的最小值．

2 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为.
   
(1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值.

3 . 在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.

(1)求证：平面;
(2)若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.

4 . 如图，AB是圆柱的底面直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面面圆周上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．

6 . 如图所示，在直三棱柱中，，，，.

(1)当P为的中点时，求证：平面；
(2)当P为的中点时，求二面角的正切值；
(3)若点P为线段上的动点，求当取得最小值时，线段的长.

7 . 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．

(1)求证：OA⊥PB；
(2)若C底面圆上一点，且，，，，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

10 . 如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面