1 . 如图所示，在正方体中，点G在棱上，且，点、、分别是棱、AB、BC的中点，P为线段上一点，．

(Ⅰ)若平面交平面于直线，求证：；
(Ⅱ)若直线平面．
(ⅰ)求三棱锥的表面积；
(ⅱ)设平面与棱交于点Q，求三棱锥的体积．

2 . 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆O的半径为，设，，圆锥的侧面积为（S圆锥的侧面积（R-底面圆半径，I-母线长））

（1）求S关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度

3 . 如图，在三棱柱中，是正三角形，平面，，是边上的一点，且为的平分线．

（1）证明：平面；
（2）若在三棱柱中去掉三棱锥后得到的几何体的表面积为，求值．

4 . 已知椭圆的左右两焦点分别为、.
（1）若矩形的边在轴上，点、均在上，求该矩形绕轴旋转一周所得圆柱侧面积的取值范围；
（2）设斜率为的直线与交于、两点，线段的中点为（），求证：；
（3）过上一动点作直线，其中，过作直线的垂线交轴于点，问是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.