名校
解题方法
1 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻,易拉罐(如图所示)作为饮品的容器,每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题,即在易拉罐的体积(容积)一定的情况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程,请回答其中问题.模型假设:①易拉罐近似看成一个圆柱体,容积一定;②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;③上盖、下底、侧壁所用金属相同; ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
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名校
2 . 对于棱长为的正方体,有如下结论,其中错误的是( )
A.以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体; |
B.过点作平面的垂线,垂足为点,则三点共线; |
C.过正方体中心的截面图形不可能是正六边形; |
D.三棱锥与正方体的体积之比为. |
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2019-06-08更新
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495次组卷
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2卷引用:【全国百强校】湖北省荆州市沙市中学2018-2019学年高一5月月考数学试题
3 . 打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法” .过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,现正用于一些产品的直接制造,特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用打印技术制作如图所示的模型,该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为,母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为(取,精确到
A. | B. | C. | D. |
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2021-03-05更新
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712次组卷
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12卷引用:河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题
河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学文科试题重庆市江津中学2021届高三下学期第二次适应性月考数学试题湘桂黔名校2022-2023学年高二下学期大联考数学试题福建省厦门双十中学2021届高三上学期期中考试数学试题(已下线)专题8.8 立体几何综合问题(精练)-2021年新高考数学一轮复习学与练(已下线)对点练42 空间几何体的结构特征-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练广东省东莞市光明中学2021届高三下学期期初考试数学试题重庆市万州区南京中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(已下线)专题八 能力提升检测卷 (测) — 2022年高考数学一轮复习讲练测(课标全国版)辽宁省大连市金普新区省示范性高中联合体2021-2022学年高三第四阶段考试(下学期开学考试)数学试题
4 . 距今5000年以上的仰韶遗址表明,我们的先人们居住的是一种茅屋,如图1所示,该茅屋主体是一个正四棱锥,侧面是正三角形,且在茅屋的一侧建有一个入户甬道,甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体,一端与茅屋的这个侧面连在一起,另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图,其中正四棱锥的侧棱长为6m,,,,点D在正四棱锥的斜高PH上,平面ABC且.不考虑建筑材料的厚度,则这个茅屋(含甬道)的室内容积为( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-04-25更新
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2278次组卷
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7卷引用:广东省珠海市第一中学2023届高三下学期5月阶段性考试一数学试题
5 . 距今5000年以上的仰韶遗址表明,我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示,该茅屋主体是一个正四棱锥,侧面是正三角形,且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体,一头与茅屋的这个侧面连在一起,另一头是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图,其中正四棱锥的侧棱长为8m,,,,点D在正四棱锥的斜高PH上,平面且.不考虑建筑材料的厚度,则这个茅屋(含甬道)的室内容积为( )
A. | B. | C. | D. |
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6 . 如图,某款酒杯的容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为______ .
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7 . 如图,某款酒杯容器部分的形状为圆锥,且该圆锥的轴截面为边长是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为___________ .
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2022-04-05更新
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372次组卷
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2卷引用:山东省济宁市育才中学2021-2022学年高二下学期质量检测联合调考(3月月考)数学试题
名校
解题方法
8 . 在某拍卖会上成交的唐代著名风鸟花卉纹浮雕银杯如图①,银杯由杯托和盛酒容器两部分组成,盛酒容器可近似地看成由圆柱和一个半球组成,盛酒容器的主视图如图2.若,,则该容器的容积(不考虑材料的厚度)为( )
A. | B. | C. | D. |
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2020-07-30更新
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539次组卷
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3卷引用:江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第三次月度检测数学试题
9 . “木桶效应”是一个有名的心理效应,是指木桶盛水量的多少,取决于构成木桶的最短木板的长度,而不取决于构成木桶的长木板的长度,常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为,如果将该木桶斜放,发挥长板的作用,在短板存在的情况下,也能盛较多的水.根据该同学的说法,若有一个如图①所示的圆柱形木桶,其中一块木板有缺口,缺口最低处与桶口距离为2,若按照图②的方式盛水,形成了一个椭圆水面,水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平,且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-08-27更新
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302次组卷
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3卷引用:北京市第一六六中学2024届高三上学期10月阶段性诊断数学试题
10 . 年月日河南省遭受特大暴雨表击,因灾死亡失踪人.郑州日降雨量,其中最大小时降雨量达,通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等,一般以日降雨量衡量,指从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度.其中小雨日降雨量在以下;中雨日降雨量为;大雨日降雨量为;基雨日降雨量为;大暴雨日降雨量为;特大暴雨日降雨量在以上,为研究宜春某天降雨量,某同学自制一个高为的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块,如图1所示,接了小时的雨水(不考虑水的损耗),水面刚好没过四棱锥顶点,然后盖上盖子密封,将容器倒置,如图2所示,水面还恰好没过点,则当天的降雨的级别为( )
A.小雨 | B.中雨 | C.大雨 | D.暴雨 |
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2022-04-12更新
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419次组卷
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4卷引用:辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题江西省宜春市2022届高三4月模拟考试数学(理)试题(已下线)押全国卷(文科)第8,16题 立体几何小题-备战2022年高考数学(文)临考题号押题(全国卷)(已下线)押全国卷(理科)第8,16题 立体几何小题-备战2022年高考数学(理)临考题号押题(全国卷)