1 . 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，与交于，与交于.求证：，并求的长．
   

2 . 在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠B₁BC=60°，求证:

（1）AB₁⊥BC；
（2）A₁C⊥平面AB₁C₁.

3 . 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．

（1）求证：；
（2）若，求线段BP的长．

4 . 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图，已知分别是空间四边形的边的中点.

（1）求证：四点共面；
（2）若四边形是矩形，求证：.

6 . 如图，，且都为垂足.求证：.

7 . 如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
   
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.