1 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，分别为棱，的中点，．

(1)证明：平面．
(2)求平面与平面所成角的余弦值．

2 . 由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，底面为正方形，点O为线段与的交点，点E为线段中点，平面.

(1)证明：平面；
(2)若点M为线段（包含端点）上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.

3 . 如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面.

4 . 如图，在直三棱柱中，分别为的中点.

(1)求证：平面；
(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

5 . 如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成的角为.

   

(1)求证：为线段的中点；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.

6 . 如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，说明点的位置；若不存在，说明理由．

7 . 在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点.
   
(1)证明：平面；
(2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值.

8 . 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.
   
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.

9 . 如图，四边形为长方形，平面，，点 分别为的中点，设平面平面．

   

(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．

10 . 如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接.
   
(1)当为上不与点重合的一点时，证明：平面；
(2)已知分别为的中点，是边长为的正三角形，四边形是面积为的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.