名校
解题方法
1 . 如图，已知等腰梯形
的外接圆圆心
在底边
上，
，
，
，点
是上半圆上的动点（不包含
，
两点），点
是线段
上的动点，将半圆
所在的平面沿直径折起，使得平面
平面.
平面
时，求
的值；
(2)证明：
不可能垂直
；
(3)设
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
（其中
），求
的最大值.
的外接圆圆心在底边上，，，，点是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面.
平面时，求的值；(2)证明：
不可能垂直；(3)设
与平面所成的角为，二面角的平面角为（其中），求的最大值.
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名校
2 . 已知四棱锥
，底面为菱形，
为
上的点，过
的平面分别交
于点
，且
∥平面
．
(1)证明：
；
(2)当
为的中点，
与平面所成的角为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面． (1)证明：
；(2)当
为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
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2023-08-13更新
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2029次组卷
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17卷引用：安徽省滁州市定远县民族中学2021届高三下学期5月模拟检测理科数学试题
安徽省滁州市定远县民族中学2021届高三下学期5月模拟检测理科数学试题（已下线）理科数学-2021年高考押题预测卷（新课标Ⅰ卷）03江苏省淮安市盱眙中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题江苏省南通市平潮高中2020-2021学年高三上学期11月学情检测数学试题山东省青岛市青岛第五十八中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题广东省广州四中2022届高三下学期4月月考数学试题浙江省金华市磐安县第二中学2020届高三下学期返校检测试数学试题福建省莆田市第五中学2023届高三上学期12月月考数学试题云南省临沧市民族中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题重庆市2024届高三上学期8月月度质量检测数学试题江西省宜春市丰城市第九中学2024届高三（28班）上学期开学考试数学试题辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题广东省广州市第十六中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题黑龙江省绥化市哈师大青冈实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）专题06 二面角4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
3 . 如图，在三棱柱
中，四边形
为正方形，四边形
为菱形，且
，平面
平面，点
为棱
的中点.
；
(2)棱
（除两端点外）上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
，若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点.
；(2)棱
（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
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2023-12-16更新
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530次组卷
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2卷引用：安徽省六安市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题
名校
4 . 如图，是半球的直径，为球心，
依次是半圆
上的两个三等分点，是半球面上一点，且
，
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点在底面圆内的射影恰在
上，求二面角
的余弦值．
是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，(1)证明：平面
平面；(2)若点
在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
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2022-06-04更新
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3225次组卷
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6卷引用：安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷
安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）湖北省武汉市新高考联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）第8章立体几何初步（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练专题12空间中直线、平面的平行与垂直关系（解答题）
解题方法
5 . 如图，在矩形中，
，点为边的中点．以
为折痕把
折起，使点到达点的位置，使得
，连结，，
．
(1)证明：平面
平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值．
中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．(1)证明：平面
平面;(2)求直线
与平面所成角的正弦值．
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名校
6 . 如图①，在梯形ABCD中，
，
，
，
，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将
沿BE折起到
的位置，如图②.
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
平面BCDE，求二面角
的余弦值.
，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，如图②.(1)证明：
平面；(2)若平面
平面BCDE，求二面角的余弦值.
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2022-02-03更新
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1627次组卷
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4卷引用：安徽省黄山市2022届高三上学期第一次质量检测理科数学试题
名校
解题方法
7 . 如图，在直三棱柱中，
，
，F为棱上一点，
，连接AF，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
中，，，F为棱上一点，，连接AF，．(1)证明：平面
平面；(2)求平面
与平面所成锐二面角的余弦值．
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名校
8 . 如图，在四棱锥中，
，
，
，，
，
，
．
(1)证明：
平面；
(2)在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于
？
中，，，，，，，．(1)证明：
平面；(2)在线段
上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？
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名校
9 . 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，
为棚底直径，
，
是棚底的内接正三角形，中间的支柱
米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子
供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从
点沿着绳子
爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到
中的某一根绳子上.
(1)当点取在距离点
米处时，证明拉绳所在直线和平面
垂直；
(2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.(1)当
点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；(2)经验表明当拉绳
所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
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2023-03-09更新
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861次组卷
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2卷引用：安徽省黄山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
10 . 在
中，
，
，
，D、E分别是AC、AB上的点，满足
且DE经过的重心，将
沿DE折起到
的位置，使
，M是
的中点，如图所示.
(1)求证：
平面BCDE；
(2)求CM与平面
所成角的大小；
(3)在线段
上是否存在点N（N不与端点
、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出
与BN的比值；若不存在，请说明理由.
中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.(1)求证：
平面BCDE；(2)求CM与平面
所成角的大小；(3)在线段
上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.
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2021-11-14更新
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3219次组卷
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18卷引用：安徽省桐城中学2023-2024学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题
安徽省桐城中学2023-2024学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题上海交通大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题山东省枣庄市滕州市第一中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题上海市上海师范大学附属外国语中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题山东省邹平市第一中学2021-2022学年高三上学期模拟新高考一卷数学试题重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）专题15 立体几何(练习)-2陕西省西安中学2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题（已下线）上海高二上学期期中【常考60题考点专练】（2）上海市川沙中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题四川省资中县第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考理科数学试题（已下线）高二下期中真题精选（常考60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海外国语大学附属浦东外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）期中真题必刷常考60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（3）（已下线） 第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
