解题方法
1 . 如图所示，三棱锥
中，
平面ABC，若O，Q分别是
和
的垂心，求证：
平面PBC．
中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC．
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名校
2 . 如图，在四棱锥
中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，
．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
（2）当
，二面角
的大小为
时，求PN的长．
中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，．（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
（2）当
，二面角的大小为时，求PN的长．
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2021-10-16更新
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1348次组卷
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3卷引用：人教B版(2019) 选修第一册 学习帮手 第一章 1.2.4 二面角
20-21高一下·黑龙江哈尔滨·期中
名校
解题方法
3 . 如图，在矩形纸片
中，
，
，
是
上一点.现将纸片沿
，
进行折叠，使点
落在线段
上，记
，则
.
（1）当
时，求三棱锥
的体积；
（2）若在线段
上存在一点
，使
，求
的取值范围；
（3）当
时，再将
沿
进行折叠，若点
正好落在线段
上，求的值.
中，，，是上一点.现将纸片沿，进行折叠，使点落在线段上，记，则.（1）当
时，求三棱锥的体积；（2）若在线段
上存在一点，使，求的取值范围；（3）当
时，再将沿进行折叠，若点正好落在线段上，求的值.
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2021·安徽蚌埠·二模
解题方法
4 . 已知直四棱柱
，其底面
是平行四边形，外接球体积为
，若
，则其外接球被平面
截得图形面积的最小值为（ ）
，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-02-03更新
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2423次组卷
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7卷引用：专题8.5 空间直线、平面的垂直（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）
（已下线）专题8.5 空间直线、平面的垂直（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题（已下线） 专题22 几何体的表面积与体积的求解 （测）-2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）解密13 空间几何体（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（已下线）8.3简单几何体的表面积与体积——课后作业（巩固版）（已下线）专题17 立体几何外接球与内切球必刷100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)（已下线）专题23 立体几何中的压轴小题-1
17-18高二上·内蒙古赤峰·阶段练习
名校
解题方法
5 . 如图在直三棱柱
中，
，
，
，E是
上的一点，且
，D、F、G分别是
、
、
的中点，EF与
相交于H．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面；
(3)求平面EGF与平面的距离．
中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：
平面；(2)求证：平面
平面；(3)求平面EGF与平面
的距离．
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2022-01-02更新
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1752次组卷
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15卷引用：1.4.2 空间向量的应用（二）（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）
（已下线）1.4.2 空间向量的应用（二）（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（1）教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（1）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册辽宁省大连市第二十三中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题福建省厦门市国祺中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题内蒙古翁牛特旗乌丹第二中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学2020-2021学年高二上学期月考数学试题内蒙古通辽市开鲁县第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）微专题17 空间中的五种距离问题（1）（已下线）专题10 空间角、距离的计算-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）广东省阳江市2021-2022学年高二上学期期末数学试题河北省石家庄二十二中2023-2024学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题（已下线）专题8.9 空间角与空间距离大题专项训练-举一反三系列（已下线）专题8.11 立体几何初步全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列
2020·山东青岛·二模
名校
解题方法
6 . 试在①
，②
，③
三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 
面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥中，
，底ABCD为菱形，若__________，且 
，异面直线PB与CD所成的角为
，求二面角
的余弦值.
，②，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥
中，，底ABCD为菱形，若__________，且 ，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.
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2020-06-23更新
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1316次组卷
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8卷引用：第01章 空间向量与立体几何（B卷提高卷）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版）
（已下线）第01章 空间向量与立体几何（B卷提高卷）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版）山东省青岛市2020届高三二模数学试题（已下线）专题九 立体几何与空间向量-山东省2020二模汇编2021届高三高考必杀技之结构开放题专练（已下线）专题08向量方法解决角和距离（练）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）福建省厦门海沧实验中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题山东省青岛市青岛第五十八中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题（已下线）第6章 空间向量与立体几何 单元测试（A卷知识达标）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）
15-16高二上·宁夏银川·期末
名校
7 . 已知正四棱柱中，
，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
中，，．（1）求证：
；（2）求二面角
的余弦值；（3）在线段
上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2021-06-22更新
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2296次组卷
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7卷引用：1.4 空间向量的应用（精练）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）1.4 空间向量的应用（精练）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）黑龙江省大庆实验中学2021届高三得分训练（二）数学（理）试题湖北省武汉市洪山高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题04 二面角（含探索性问题）-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）2015-2016学年宁夏银川市育才中学高二上学期期末理科数学试卷重庆市荣昌中学校2020-2021学年高二上学期十月月考数学试题（已下线）专题18 立体几何综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）
20-21高三上·福建龙岩·期末
8 . 如图，在边长为4正方体中，
为的中点，，点在正方体表面上移动，且满足
，则点
和满足条件的所有点构成的图形的面积是______ .
中，为的中点，，点在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是
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2020-01-30更新
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848次组卷
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6卷引用：2.1.1 平面-2020-2021学年高一数学课时同步练（人教A版必修2）
（已下线）2.1.1 平面-2020-2021学年高一数学课时同步练（人教A版必修2）2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学（文）试题2020届高三2月第01期（考点07）（文科）-《新题速递·数学》（已下线）专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（已下线）考点27 空间直线、平面的垂直-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过（已下线）专题06 立体几何（文）第二篇-备战2020高考数学黄金30题系列之压轴题（新课标版）
名校
9 . 如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
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2017-11-27更新
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2018次组卷
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13卷引用：北师大版 必修2 过关斩将 第一章 立体几何初步 §6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
北师大版 必修2 过关斩将 第一章 立体几何初步 §6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质（已下线）同步君人教A版必修2第二章2.3.1直线与平面垂直的判定高中数学人教版 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定江苏省镇江市心湖2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及其性质（练）【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》广西梧州市蒙山县蒙山中学2019-2020学年度高一上学期第二次月考数学试题（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及其性质（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期5月阶段考试数学试题山西省运城市永济中学校2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题上海市建平中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）（已下线）专题03直线与平面的位置关系（4个知识点6种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）（已下线）8.6.2 直线与平面垂直【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
