1 . 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

2 . 已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．

   

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．

3 . 如图，正方体的棱长为，为的中点.（请用空间向量的知识解答下列问题）

(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

4 . 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，.

(1)证明：四点共面；
(2)求点到平面的距离.

5 . 如图，在直三棱柱中，，棱，点分别是的中点.
   
(1)求
的模；
(2)求
；
(3)求证：
.

6 . 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点.
   
(1)证明：；
(2)求；
(3)求FH的长.

7 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若，求；
②证明：.
(2)记的面积为，证明：；
(3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？

8 . 如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 如图1，已知在矩形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面，如图2.

(1)求证：平面平面；
(2)设，.
①是否存在，使?
②当为何值时，二面角的平面角的余弦值为?

10 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
   
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.