1 . 已知实数
满足：
，则
的最大值是_______ ．
满足：，则的最大值是
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2 . 在平面直角坐标系
中，设点
是椭圆
上一点，以M为圆心的一个半径
的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
(1)若直线
的斜率都存在，且分别记为
.求证：
为定值；
(2)探究
是否为定值，若是，则求出
的最大值；若不是，请说明理由.
中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.(1)若直线
的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；(2)探究
是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
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解题方法
3 . 正方体
的棱长为1，点
为底面正方形
上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A．直线 与平面 所成的角的正弦值为 |
B．若点 为 中点，点 为 中点，则直线 和 夹角的余弦值为 |
C．若 ，则 的最小值为 |
D．若点 在 上，点在 上，则 的长度最小值为 |
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解题方法
4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线
：
的右焦点为
，左、右顶点分别为
，
，过且斜率不为0的直线
与
的左、右两支分别交于、
两点，与的两条渐近线分别交于
、两点（从左到右依次为、、、），记以
为直径的圆为圆
．
(1)当与圆相切时，求
；
(2)求证：直线
与直线
的交点
在圆内．
中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．(1)当
与圆相切时，求；(2)求证：直线
与直线的交点在圆内．
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解题方法
5 . 已知椭圆
的上顶点为
，圆
.对于圆，给出两个性质：
①在圆上存在点，使得直线
与椭圆相交于另一点
，满足
；
②对于圆上任意点，圆在点处的切线与椭圆交于，
两点，都有
.
(1)当
时，判断圆是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）
(2)已知当
时，圆满足性质①，求点和点的坐标；
(3)是否存在
，使得圆同时满足性质①和性质②，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
的上顶点为，圆.对于圆，给出两个性质：①在圆
上存在点，使得直线与椭圆相交于另一点，满足；②对于圆
上任意点，圆在点处的切线与椭圆交于，两点，都有.(1)当
时，判断圆是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）(2)已知当
时，圆满足性质①，求点和点的坐标；(3)是否存在
，使得圆同时满足性质①和性质②，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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名校
6 . 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆
中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为
．已知椭圆C的离心率为
，点A，B均在椭圆C上，直线
，则下列描述正确的为（ ）
中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（ ）| A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b |
B．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为 |
C．若l上任意一点Q都满足 ，则 |
D．若 ，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足 ，则 面积的最大值为 |
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2023-12-13更新
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588次组卷
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2卷引用：2023-2024学年高二上学期期末数学仿真模拟试题04（新高考地区专用）
名校
解题方法
7 . 已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，圆
，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 |
B．若，则 的最大值为4 |
C．若存在点P使得 ，则 |
D．若存在点Q使得 ，则 |
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2023-11-11更新
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553次组卷
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5卷引用：四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（三）
8 . 已知动点在抛物线
上，过点引圆
的切线，切点分别为，，则
的最小值为________ ．
在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为
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2023-09-25更新
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974次组卷
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4卷引用：河南省驻马店市2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 过点
作斜率为
的直线交圆
于，两点，动点满足
，若对每一个确定的实数，记
的最大值为
，则当变化时，的最小值是（ ）
作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（ ）| A．1 | B． | C．2 | D． |
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2023-07-27更新
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1403次组卷
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3卷引用：浙江省台州市名校联盟2022-2023学年高二上学期11月五科联赛数学试题
浙江省台州市名校联盟2022-2023学年高二上学期11月五科联赛数学试题（已下线）单元高难问题02数学思想方法在解决与圆有关问题中的应用（各大名校30题专项训练）（原卷版）广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（二）
解题方法
10 . 已知双曲线
，斜率为1的直线过双曲线C上一点
交该曲线于另一点B，且线段
中点的横坐标为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线
，且直线均与圆
相切．设
与双曲线C的另一个交点为P，
与双曲线C的另一个交点为Q，则当
时，求点M的坐标．
，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
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