1 . 已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.

2 . 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点.
（1）设为坐标原点，求线段的长度；
（2）求证：平分.

3 . 已知抛物线与直线只有一个公共点，点是抛物线上的动点.
（1）求抛物线的方程；
（2）①若，求证：直线过定点；
②若是抛物线上与原点不重合的定点，且，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值.

4 . 如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线l的方程为，过焦点F的直线与椭圆C相交于点A，B（不与点重合）.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线AB的倾斜角为45°时，求弦AB的长；
（3）设直线交l于点M，求证：B，，M三点共线.

5 . 如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，的斜率存在且依次成等差数列.

（1）求证：动点P的横坐标为定值；
（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，一条准线方程是，点为椭圆上异于的两点，点为的中点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交直线于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
（3）若，求直线斜率的取值范围．

7 . 如图,已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.
(1)求证:三点共线；
(2)求的大小.