1 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

2 . 已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
(1)求圆M的方程；
(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.
(1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；
(2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知圆过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值.

5 . 已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上.

6 . 已知圆C经过，两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值.

7 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.

8 . 已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O､B，其中O为坐标原点.
(1)试写出圆C的标准方程（含表示）；
(2)求证：的面积为定值；
(3)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程.

10 . 设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，求点的坐标和圆的方程.