1 . 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

2 . 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是______.（填写序号）
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C关于直线对称；
③若动点P、Q都在曲线C上，则线段的最大值为3；
④曲线C的面积小于3.

3 . 如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为1的正方形，此正方形沿轴滚动（向左或者向右均可），滚动开始时，点在原点处，例如：向右滚动时，点的轨迹起初时以点为圆心，1为半径的圆弧，然后以点与轴交点为圆心，长度为半径……，设点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，该函数相邻两个零点之间的距离为.

（1）写出的值，并求出当时，点轨迹与轴所围成的图形的面积，研究该函数的性质并填写下面的表格：

函数性质	结论
奇偶性
单调性	递增区间
	递减区间
零点

（2）已知方程在区间上有11个根，求实数的取值范围
（3）写出函数的表达式.

6 . 若动点到定点与定直线的距离之和为4.
(1)求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图.
(2)记(1)得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围.

7 . 已知为圆上任意一点（原点除外），直线的倾斜角为弧度，记.在下侧的坐标系中，画出以为坐标的点的轨迹的大致图形为________.

8 . 如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图.

（1）求四棱锥的体积；
（2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.

9 . 若动点到定点与定直线的距离之和为．
（1）求点的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；
（2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点对称的不同点有几对？请说明理由．
（3）（文）记（1）得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围．

10 . 如图所示，长方体，底面是边长为的正方形，，为中点.

（1）求四棱锥的体积；
（2）若点在正方形内（包括边界），且三棱锥体积是四棱锥体积的，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形.