1 . 在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______．

2 . 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________.
       

3 . 已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为________．

4 . 设，若对于任意正实数，函数的图象与曲线都有交点，则的最小值为________．

5 . 在长方体中，，，点P为长方体表面上的动点，且，当最小时，的面积为_____.

6 . 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.

7 . 在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为_____.

8 . 多面体为正方体，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______.

9 . 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为__________，点N轨迹的长度为__________．

   

10 . 已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______.