1 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．

2 . 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.

3 . 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.

(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.

4 . 设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且.
(1)求的面积；
(2)求点的坐标.

5 . 求椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；

6 . 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线方程.

7 . 已知命题表示双曲线，命题表示椭圆．
（1）若命题p与命题q都为真命题，则p是q的什么条件？
（2）若为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围．

8 . 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.

10 . 已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．