1 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

2 . 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．

3 . 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线方程.

4 . 已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且该双曲线过点(2,2).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）点A为双曲线C上任一点，F₁､F₂分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F₁AF₂的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程.

5 . 双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点，为原点．
（1）若轴，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率为2，求的面积．