1 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且M经过点 ，N的焦距为 4.

(1)求M和N 的方程;
(2)如图，过点 的直线(斜率大于0)与双曲线 M和N 左、右两支依次相交于点 A，B，C，D，证明:.

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4．
(1)求的方程；
(2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程．

4 . 已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

5 . 设双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点.

6 . 如图，若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.