1 . 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)说明点的轨迹是何种几何图形．

2 . 已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上任意一点，动点满足，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）记动点的轨迹为，求的极坐标方程；
（2）已知直线：与曲线交于，两点，若，求的值．

4 . 已知，，动点满足，活动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）如图，点是上任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线与相交于点，直线与相交于点，求证：以为直径的圆与轴交于定点，并求出点的坐标.

5 . 过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.

6 . 设是圆上的动点，点是在轴上的投影，且.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）求过点(1,0)，倾斜角为的直线被所截线段的长度.

7 . 已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，是坐标原点．
（Ⅰ）求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值，并求此时直线的方程．

8 . 已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点；
（Ⅰ）求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值,并求此时直线的方程．

9 . 平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若点到直线的距离为，求圆的方程．

10 . 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．